数学的真谛 (评论: 数学：确定性的丧失)

<span class="mn">2011-01-19 14:23:47</span>  
<span class="pl2">　　来自: [<span>蓬山恨</span>](http://book.douban.com/people/26941615/)  
 (几行归塞尽 念尔独何之)

数学：确定性的丧失的评论
  
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　　这个世界上流传着一个深入人心的奇谈怪论——数学是理性的学科，数学是逻辑的学科，数学的人类理性的精华，数学是自然科学的皇后。
　　不，不是，数学是经验的学科，数学是人类经验的提炼，“数学是自然科学的女仆”。一切数学工作者，若不能理解这一重要的判断，数学的发展就没有什么价值。（本书中，作者就批判了某些数学分支不顾经验基础只顾逻辑自洽的盲目发展，如代数拓扑、泛函分析等。）

　　关于数学的唯理性、纯逻辑的神话是从什么时候开始的呢？不消说，自然是希腊时代。“万物皆数”，“不懂几何学的人禁止入内”，这舆论压力就奠定了几千年的数学传奇。 　　希腊时期，数学这门学科有四个分支——代数，几何，音乐，天文。为什么会有音乐和天文呢？因为乐律的谐和中有着整数比的奇妙关系，天文更不必说，苍黄天地的几何关系。因此，自然界是按照数学规律创造的，数学真理是确定的，是经由人类的理性才能达到的。自然（音乐天文）是被数学（几何代数）牢牢压制住的。
　　不，不对，希腊人说反了。渺小的人类发现了自然界中的抽象规律，并把它称之为“数学”。数学不是客观真理，数学是人的主观创造。人类真是不孝，经验之母的哺育喂养非但使人们感恩戴德，反倒回过头来划清界限、恶言相向。“上帝只创造了自然数，其他都是人类的发明。”结果人们却无限讴歌上帝吹嘘理性，把无理数、复数的客观存在都归到上帝的门下，以此来求得对自身脆弱智慧的一丝安慰和坚定信赖。
　　为什么过一点有且只有一条直线与已知直线永不相交，因为人类的经验；为什么矩形的面积等于长乘以宽，因为人类的经验（你说说，为什么这个面积不乘上一个常系数？）；为什么要提出“极限”的概念，因为人类的经验（你说说，微积分能不能找到其他的逻辑基础？本书中提到了这样的研究成果）；为什么拓扑里面要先定义开集，因为人类的经验（你说说，你理解拓扑空间的三条定义吗？）；为什么群环域研究的是二元运算而不是三元四元，因为人类的经验；为什么概率论中的事件域要满足sigma域的三条定义，因为人类的经验（你说说，为什么一定要有sigma域关于极限的第三条定义，这是不是人类经验的总结？）；为什么Fisher创立的统计学是有效的而Pearson的理论被摈弃了，因为人类的经验；为什么素数这个基本的概念会引领了几百年的数论研究，因为人类的经验（你说说，“素数”的概念是不是人类的发明？）。

　　数学：确定性的丧失。我觉得副标题还不太恰当，似乎应该叫作“唯理性、唯一性、纯逻辑、纯思辨的丧失”。现代数学发展到这里，人们应当承认，数学真的不是人类大脑脱离经验的逻辑化产物。
　　全书大致可以分成四个部分。一，几何学的历史。欧氏几何学上千年的压倒性地位，使得人们长期以来将数学看作人类理性的硕果。非欧几何出现，人们方才认识到数学并不是纯意识的产物。二，代数和分析。在希腊时代，代数由于其实用性、经验型，是遭鄙视的。阿拉伯世界带来了对代数的兴趣，笛卡尔的发明使得代数与几何并驾齐驱。继而是数系不明、微积分概念混乱的数学界几百年辉煌发展，直到十九世纪才确定了一切逻辑基础。三，十九世纪末开始的数学公理化运动，四大派别轮番登场，各不相让，直到哥德尔平地一声惊雷，啪啪啪，全被劈死了。四，重新思考，数学的基础，数学的目的究竟是什么。

　　数学的目的究竟是什么？数学逻辑基础的争论快要过去一百年了。其后的这一百年间，争议似乎被搁置了，好像很和睦，然而也是数学开始与物理物理分道扬镳的一百年。一百年来，在重大的科学（主要说物理学吧）进展面前，数学工作者几乎全体失语。布朗运动的数学描写，是Einstein做的；统计物理的数学基础，是Gibbs完成的；凡称量子力学，必追溯Dirac；七大问题中的Yang-Mills自不必说；非线性方程的发迹、混沌现象的重大进展，是由一个气象学家（Lorentz）提出的。数学家们好像永远都跟在物理学家的屁股后面，做些公理化、逻辑化的无谓工作。要不然就是闭门造车，有限单群分分类，解的存在唯一性证一证，把代数几何、代数拓扑、调和分析、算子代数等等不知所云的学科推进到更加不知所云的地步。现在的数学工作者们，已经完完全全地丧失了从自然科学中提炼数学问题的能力，要解决问题也需要别人把问题清清楚楚地用数学形式提好了再去解决，仿佛这就是Newton、Euler、Gauss、Riemann留给我们的优良传统。问题要都提好了，谁还需要你？
　　逻辑就是数学的一块遮羞布。当打扮得光鲜亮丽的时候，谁去关心你内裤是什么颜色的。当你脱得啥都没有了的时候，只好羞怯怯地说——瞧，我们还是挺讲逻辑的。（你不信吗？你来说说，黎曼zeta函数在不收敛处是怎么定义的？这符合逻辑吗？）

　　 这本书要告诉我们的就是这件事情。数学的真理是唯一客观存在的吗？不是。数学的真理性既不依赖于严谨的逻辑，也不依赖于光辉的理性。不，这些都拯救不了数学。只有对自然的合理诠释才唯一地成就数学的合法性。

　　“孱弱无能的理智啊，你该有自知之明！” ——Pascal
　　

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